Propriétés élémentaires

De l'axiomatique de Kolmogorov, on peut déduire les propriétés suivantes :

Propriété 1 : $P(\emptyset) = 0$

Propriété 2 : $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$

Propriété 3 : $P(A) \leq P(B)~si~A \subset B$

Propriété 4 : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Propriété 5 : $P(\bigcup A_i) \leq \sum_{i} P(A_i)$ (Il n'y a stricte égalité que si les évènements $A_i$ sont deux à deux incompatibles.)

Propriété 6 : Continuité monotone séquentielle. $Soient~A_1 \supset A_2 \supset \ldots \supset A_n \supset \emptyset.$

$$Si~\lim_{n \rightarrow \infty} A_n = \emptyset~alors~\lim_{n \rightarrow \infty} P(A_n) = 0$$

Propriété 7 : Théorème des probabilités totales : Soit $\Omega = \bigcup B_i$ un système complet d'évènements (i.e. tel que $\{B_i\}$ constitue une partition de $\Omega$). $\forall A~: P(A) = \sum_{i} P(A \cap B_i)$

Remarque : $P(A) = 0 \not \Rightarrow A = \emptyset$. De même, $P(A) = 1 \not \Rightarrow A = \Omega$.