Fonction de répartition d'une v.a. continue

Soit $X$ une v.a. continue. Sa fonction de répartition est continue à gauche et à droite. Il existe donc une fonction $f$ telle que l'on puisse écrire :

$$f(x) = \frac{d F(x)}{dx}~ou~F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(u) du$$

Par définition, $f$ est appellée densité de probabilité de $X$, ou en abrégé, ddp de $X$. Cette fonction a les propriétés suivantes :

$\bullet~\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 1$

$\bullet~\forall x, f(x) \geq 0$

$\bullet~P(X \in ]x_1,x_2[) = F(x_2) - F(x_1) = \int_{x_1}^{x_2} f(u) du$

$\bullet~P(X = x_0) = \int_{x_0}^{x_0} f(u) du = 0$

$\bullet~P(X \in ]x_0,x_0+dx_0[) = \int_{x_0}^{x_0+dx_0} f(u) du = f(x_0) dx_0 = dF(x_0)$