Distribution conditionnelle

Soient $X$ et $Y$ deux v.a. continues de FR conjointe $F$ et de ddp conjointe $f$. Comment peut-on évaluer la probabilité conditionnelle $P(X \in I_1 / Y \in I_2)$ ?

On définit la fonction de répartition conditionnelle $F(x/Y=y_0)$ par

$$F(x/Y=y_0) = \frac{\int_{-\infty}^x f(u,y_0) du}{\int_{-\infty}^{+\infty} f(v,y_0) dv}$$

et la densité de probabilité conditionnelle $f(x/Y=y_0)$ par

$$f(x/Y=y_0) = \frac{dF(x/Y=y_0)}{dx}$$

Si les deux v.a. sont indépendantes, alors on a

$$F(x/Y=y_0) = F_X(x)$$

$$f(x/Y=y_0) = f_X(x)$$