Transformation d'une variable aléatoire

Transformation d'une loi discrète  Soit $X$ une v.a. discrète de loi $P_X$. Alors, la loi de la v.a. $U = \psi(X)$ est définie par :

$$P(U=k) = P(\psi(X) = k) = P(X = \psi^{-1}(k)) = P_X(\psi^{-1}(k))$$

où $\psi^{-1}$ désigne la fonction réciproque de $\psi$.

Transformation d'une loi continue  Soit $X$ une v.a. continue dont la loi admet la densité de probabilité $f_X$ et $\psi$ une fonction monotone et dérivable. Alors, la densité de la loi de la v.a. $U = \psi(X)$ est définie par :

$$f_U(u) = \vert(\psi^{-1})'(u)\vert f_X(\psi^{-1}(u))$$

où $\psi^{-1}$ désigne la fonction réciproque de $\psi$.

On peut par ces propriétés montrer en particulier que la v.a. $U=F(X)$ où $F$ est la fonction de répartition de la loi de la v.a. $X$, suit une loi uniforme sur l'intervalle $[0,1]$.

Exemple : Soit $U = \psi(X) = X^2$. On a $\psi^{-1}(u) = \sqrt(u)$ et donc $(\psi^{-1})'(u) = \frac{1}{2} u^{-1/2}$. En application de la propriété précédente, on obtient

$$f_U(u) = \left\vert \frac{1}{2 \sqrt{u}} \right\vert f_X(\sqrt{u})$$