Densité de probabilité d'une somme de V.A. indépendantes

Soient $X$ et $Y$ deux v.a. continues de ddp $f(x)$ et $g(y)$. Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors la densité de probabilité $h(z)$ de la v.a. $Z$ définie par $Z = X + Y$ est donnée par

$$h(z) = f \star g (z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) g(z-x) dx = \int_{-\infty}^{+\infty} f(z-y) g(y) dy$$

Cette propriété se généralise quel que soit le nombre de variables dans la somme. On peut aussi additionner des variables aléatoires discrètes.

Soient $X$ et $Y$ deux v.a. discrètes à valeurs dans $D_X$ et $D_Y$. La loi de $S = X + Y$ est définie par :

$$P(S=k) = \left\{ \begin{array}{l} \sum_{i \in D_X} P(X=i,S=k... ...m_{j \in D_Y, k-j \in D_X} P(X=k-j,Y=j)\\ \end{array} \right.$$

En particulier, si $X$ et $Y$ sont indépendantes, on a :

$$P(S=k) = \left\{ \begin{array}{l} \sum_{i \in D_X, k-i \in D... ...j \in D_Y, k-j \in D_X} P(X=k-j) P(Y=j)\\ \end{array} \right.$$

On peut aussi passer par les propriétés de l'opérateur espérance mathématique (voir section suivante).