Notion de moyenne pour une v.a. discrète

Soit $X$ une v.a. discrète prenant ses valeurs dans $\{x_1,\ldots,x_n\}$ et dont les probabilités associées sont $P(X=x_i) = p_i$.

Par définition, on appelle moyenne théorique ou espérance mathématique de $X$, et l'on note $E(X)$, la valeur .

On ne connait cette v.a. que par le moyen d'un échantillon de taille $N$ (dont on supposera qu'il est significatif par rapport au nombre de valeurs possible, $n$, de la v.a., i.e. $N \gg n$). Chaque évènement $X=x_i$ se réalise $k_i$ fois dans l'échantillon ( $N = \sum_i k_i$).

La moyenne expérimentale est définit par .

Si on admet que la proportion $\frac{k_i}{N}$ tend vers la propabilité théorique $p_i$ pour un échantillon de taille infinie ( $N \rightarrow \infty$) alors on peut estimer la moyenne théorique par la limite de la moyenne expérimentale.