Quelques moments particuliers

$\bullet~\mu_1 = E(X - E(X)) = E(X) - E(X) = 0$

$\bullet~\alpha_1$ est la moyenne.

$\bullet~\mu_2 = \alpha_2 - \alpha_1^2$ $\bullet~\mu_2$ est la variance (voir plus loin).

Très souvent, pour des raisons d'efficacité, les moments souhaités, i.e. $\mu_k$, sont calculés à partir des moments simples, i.e. $\alpha_k$. En effet, le calcul d'un moment centré nécessite le calcul préalable de l'espérance mathématique, il y a donc 2 pas de calculs au lieu d'un seul pour les moments non centrés.

$\bullet~\mu_3 = \alpha_3 - 3 \alpha_1 \alpha_2 + 2 \alpha_1^3$

$\bullet~\mu_4 = \alpha_4 - 4 \alpha_1 \alpha_3 + 6 \alpha_1^2 \alpha_2 - 3 \alpha_1^4$

$\mu_2$, $\mu_3$ et $\mu_4$ sont utilisés pour caractériser la forme d'une distribution. Pour cela, on construit des indicateurs sans dimension :

Le coefficient d'asymétrie (skewness) : $\gamma_1 = \frac{\mu_3}{(\mu_2)^{\frac{3}{2}}}$. Ce coefficient est nul pour une distribution parfaitement symétrique, inférieur à zéro si la distribution est plus étendue vers la gauche (les valeurs inférieures à la moyenne), et supérieur à zéro dans le cas contraire.

Le coefficient d'aplatissement (kurtosis) : $\gamma_2 = \frac{\mu_4}{(\mu_2)^2}$. $\gamma_2$ est toujours supérieur à 1. De plus, on a toujours $\gamma_2 \geq 1 + (\gamma_1)^2$. Plus que l'aplatissement, le coefficient $\gamma_2$ mesure l'importance des ``queues'' de distribution. Cet indicateur vaut $3$ dans le cas de la loi de Gauss (cf chapitre sur les principales lois de probabilité). Il est inférieur à $3$ pour une distribution moins large que la loi de Gauss et supérieur à $3$ pour une distribution plus large.

Remarque : Ces indicateurs ne sont utilisables, i.e. n'ont de sens, que dans le cas d'une distribution unimodale (un seul maximum).