Variance, covariance et écart-type

La variance est définie par

$$\fbox{${\bf \mu_2 = E((X-E(X))^2) = {\bf \sigma^2 = variance~de~X} = V(X) = E(X^2) - E(X)^2}$}$$

Elle traduit la dispersion de la distribution de la v.a. autour de sa valeur moyenne. Etant un carré, la dimension de la variance n'est pas celle de la moyenne. C'est pourquoi on utilise plus souvent l'écart type, noté ${\bf\sigma}$, qui est la racine de la variance.

On dit aussi que la variance traduit la notion d'incertitude. Plus la variance est faible, moins le résultat de l'expérience aléatoire est incertain. A la limite, une v.a. de variance nulle conduit à des expériences strictement identiques (i.e. le phénomène est complètement déterministe, il n'y a donc plus aucune raison de garder la notion de variable aléatoire).

La variance a également des propriétés intéressantes vis à vis de la combinaison linéaire de v.a. :

Soient $X_1$ et $X_2$ deux v.a.

$$\fbox{${\bf V(X_1 + X_2) = V(X_1) + V(X_2) + 2 cov(X_1,X_2)}$}$$

où $cov(X,Y)$ est la covariance des v.a. $X$ et $Y$ définie par :

$$\fbox{$cov(X,Y) = \mu_{1,1} = E(XY) - E(X)E(Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]$}$$

La covariance peut être vue comme le moment centré conjoint d'ordre 1 de deux v.a. Si les deux v.a. sont indépendantes, alors leur covariance est nulle (mais la réciproque n'est pas vraie en général).

Par ailleurs, soit $X$ une v.a. et $a$ et $b$ deux constantes. On a