Coefficient de corrélation

La relation entre deux v.a. peut être quantifiée par la covariance comme vue précédemment. Cependant, à l'image de la moyenne et de la variance, la covariance est un moment donc possède une dimension ce qui la rend plus difficile à interpréter. C'est pourquoi on utilise plus généralement le coefficient de corrélation, indicateur sans dimension, défini par

$$\fbox{$\rho(X,Y) = \frac{cov(X,Y)}{\sigma_X~\sigma_Y} = \frac{\mu_{1,1}}{\sqrt{\mu_2(X)~\mu_2(Y)}}$}$$

Le coefficient de corrélation mesure la qualité de la relation linéaire entre deux variables aléatoires $X$ et $Y$ (i.e. de la forme $Y = aX + b$). On a les propriétés suivantes :

$\bullet~\forall X,Y~: \rho(X,Y) \in [-1,1]$.

$\bullet~$Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $\rho(X,Y) = 0$ (la réciproque n'est pas vraie en général).

$\bullet~\forall X,Y~\forall a_1, a_2, b_1, b_2 \in \Re~(a_1 a_2 \neq 0)~: \rho(a_1 X + b_1,a_2 Y + b_2) = sign(a_1 a_2) \rho(X,Y)$

$\bullet~$ Si il existe une relation linéaire entre $X$ et $Y$ alors $\rho(X,Y) = \pm 1$.

On peut réécrire la relation sur la variance d'une somme de v.a. en utilisant le coefficient de corrélation :

$$\bf\sigma^2(X_1 + X_2) = \sigma^2(X_1) + \sigma^2(X_2) + 2 \rho(X_1,X_2)\sigma(X_1)\sigma(X_2)$$

Et en généralisant, on obtient

$${\bf \sigma^2(\sum_{i=1}^{i=n} X_i) = \sum_{i=1}^{i=n} \sigma... ...{i=n-1}\sum_{j > i}^{j=n}\rho(X_i,X_j)\sigma(X_i)\sigma(X_j) }$$