Exemple

Soit X une v.a. continue et uniforme sur $[-\frac{a}{2},\frac{a}{2}]$ (i.e. équiprobabilité de toutes les valeurs). L'uniformité de X conduit à une densité de probabilité constante :

$$f(x) = \left\{\begin{array}{ll} 0 & \mbox{si $x <-\frac{a}{2}... ...a}{2}$}\\ 0 & \mbox{si $x > \frac{a}{2}$} \end{array} \right.$$

Le calcul des moments donne :

$\alpha_n = E(X^n) = \int_{-\infty}^{+\infty} x^n dF(x) = \frac{1}{a} \int_{-\fr... ...a}{2}} x^n dF(x) = \frac{1}{a(n+1)} [(\frac{a}{2})^{n+1} -(-\frac{a}{2})^{n+1}]$

donc $\alpha_{2p+1} = 0$ et $\alpha_{2p} = \frac{1}{2p+1} \times (\frac{a}{2})^{2p}$

La moyenne ($n = 1 , p = 0$) de X est donc nulle et la variance ($n = 2, p = 1$) est égale à $\frac{a^2}{12}$.