Inégalités de Bienaymé - Tchebyshev - Markov

Inégalité de Tchebyshev : $P(g(X) \geq k) \leq \frac{E[g(X)]}{k}$ où $k$ est un réel positif et $g$ une fonction positive.

En posant, $g(X) = X^n$, on obtient l'inégalité de Markov : $P(X^n \geq k^n) \leq \frac{E(X^n)}{k^n}$.

De même, si l'on pose $g(X) = (X-E(X))^2$ et $k = t^2\sigma^2$, on obtient l'inégalité de Bienaymé-Tchebyshev : $P((X - E(X)) \geq t\sigma) \leq \frac{1}{t^2}$.

Cette inégalité est la plus connue des trois. Elle est valable quelle que soit la v.a. X, ce qui est une propriété très intéressante. Malheureusement, elle n'a que peu d'applications pratiques car la majoration qu'elle fournit est la plupart du temps excessive.