Liaisons entre lois de probabilités

Loi 0-1 : on appelle aussi cette loi, loi de Bernoulli. La v.a. associée à une telle loi est considérée comme la fonction indicatrice d'un évènement de probabilité p. C'est un cas particulier de la loi Binomiale.

Loi binomiale : On obtient une v.a. de loi binomiale ${\cal B}(n,p)$ par une somme de $n$ v.a. de loi 0-1 ($p$). En d'autres termes, la loi binomiale est la loi associée à $n$ répétitions, dans des conditions identiques et indépendamment, d'une expérience aléatoire dont l'issue est l'apparition ou la non apparition d'un évènement. La somme de deux lois binomiales de même paramètre est une loi binomiale.

Loi géométrique : La loi géométrique est la loi du nombre d'essais nécessaires pour faire apparaître un évènement de probabilité $p$.

Loi de Pascal d'ordre n : C'est la loi du nombre d'essais nécessaires pour observer exactement $n$ fois un évènement de probabilité $p$. Cette loi est la somme de $n$ lois géométriques indépendantes

Loi de Poisson (magistrat français du XIXème siècle) : On obtient une v.a. de loi de Poisson à partir d'une v.a. de loi binomiale ${\cal B}(n,p)$ pour laquelle on a $n \rightarrow \infty$ et $p \rightarrow 0$ et $np \rightarrow \lambda \neq \infty$. On peut aussi introduire la loi de Poisson par la notion de processus de Poisson. Soit un phénomène tel qu'un seul évènement puisse se produire à la fois (non simultanéïté des réalisations) et que le nombre d'évènements se produisant pendant une période T ne dépend que de la durée de cette période. Supposons enfin l'indépendance des évènements. Soit $E(N) = cT$ l'espérance mathématique d'un nombre N d'évènements pendant la période de durée T avec la cadence c. c désigne donc le nombre moyen d'évènements par unité de temps. On démontre alors que la probabilité d'obtenir n évènements pendant un temps T est $P(N=n) = \frac{(cT)^n}{n!} e^{-cT}$.

Figure 1: Densité de probabilité de la loi de Poisson de paramètre $\lambda = 10$.

La somme de deux lois de Poisson de paramètres $\lambda_1$ et $\lambda_2$ est une loi de Poisson de paramètre $\lambda_1+\lambda_2$.

Loi Normale ou loi de Gauss-Laplace : C'est incontestablement la loi la plus connue. On la doit à Moivre qui, en 1738, a trouvé cette loi comme limite de la loi binomiale. On utilisera la notation suivante : $\aleph(moyenne,variance) = \aleph(\mu,\sigma^2)$. On la retrouve comme modèle le plus courant pour les distributions d'erreurs de mesure autour d'une valeur ``vraie''. Elle joue aussi un rôle important en terme de comportement asymptotique des autres lois de probabilités, comme le montre le théorème central limite. Une propriété intéressante de cette loi est sa conservation vis à vis de la combinaison linéaire : Soient $\{X_i\}$ un ensemble de $p$ v.a. normales de paramètres $(\mu_i,\sigma^2_i)$ deux à deux indépendantes, leur somme pondérée par les coefficients $\alpha_i$ est une v.a. normale de paramètres la somme pondérée des paramètres $(\sum \alpha_i \mu_i, \sum \alpha_i^2 \sigma^2_i)$

Figure 2: Densité de probabilité de la loi normale centrée réduite.

Loi exponentielle : Si $Y$ suit une loi de Poisson, et traduit le nombre d'apparitions d'un certain phénomène aléatoire dans un intervalle de temps $t$, alors la variable aléatoire $1/Y$ représente l'intervalle de temps séparant deux apparitions d'un évènement donné. Cette nouvelle variable suit une loi exponentielle de paramètre $a$ où $a$ est le paramètre de la loi de Poisson. En fiabilité, cette loi est très utilisée pour représenter la durée de vie de circuits électroniques. L'espérance $a$ est souvent appelée le MTBF (Mean Time Between Failure) et $\frac{1}{a}$ le taux de défaillance. La loi exponentielle est un cas particulier de la loi Gamma pour $k = 1$.

Figure 3: Densité de probabilité de la loi exponentielle de paramètre $a=3$.

La loi exponentielle est souvent utilisée pour son caractère sans mémoire. Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi exponentielle. Soient $u$ et $t$ deux réels strictement positifs, on a

$$P(X > t+u \vert X > t) = P(X > u)$$

Cela signifie que la probabilité d'être dans un intervalle $[t,t+u]$ dépend uniquement de la largeur de l'intervalle et pas de sa position absolue (d'où le vocable ``d'effet sans mémoire``).

Loi de Weibull : Cette loi est aussi très utilisée pour caractériser la fiabilité des matériels. Elle est reliée à la loi exponentielle par la relation suivante : $X$ suit une loi de Weibull de paramètre $\beta$ si $X^{\beta}$ suit une loi exponentielle. On dit que $\beta$ est le paramètre de forme : $\beta > 1$ correspond à un matériel qui se dégrade avec le temps (usure); $\beta < 1$ à un matériel qui se bonifie avec le temps; $\beta = 1$ (cas où la loi est exponentielle) à un matériel sans usure (pannes purement accidentelles).

Figure 4: Densité de probabilité de la loi de Weibull de paramètre $\beta =2$.

Loi Gamma : Soit une v.a. normale X de paramètres $(\mu,\sigma)$ et soit $Y$ une v.a. construite par $Y = \frac{1}{2} \frac{(X-\mu)^2}{\sigma^2}$. $Y$ suit une loi Gamma de paramètres $(\lambda,k) = (\frac{1}{2},1)$. La distribution gamma est une généralisation de la loi exponentielle. En effet, si la loi exponentielle corrrespond à la distribution de probabilité du temps séparant l'apparition de deux évènements donnés, la loi gamma fournit la distribution de probabilité du temps qui s'écoule entre la Kème et la (K+r)ème apparition de l'évènement. La loi gamma est appliquée comme modèle de probabilité pour prévoir la durée de vie des appareils qui subissent une usure tels les véhicules automobiles ou les appareils mécaniques.

Loi du $\chi ^2$ : Le paramètre m est le nombre de degrés de liberté de cette loi. Cette distribution permet de définir la loi de la v.a. $\chi^2_m = \sum_1^m x^2_i$ où les $x_i$ sont des v.a. normales centrées réduites indépendantes. Pour m tendant vers l'infini, cette loi tend asymptotiquement vers une loi normale. La somme de deux v.a. du $\chi ^2$ à respectivement $a$ et $b$ degrés de liberté, est une nouvelle v.a. de loi du $\chi ^2$ à $a+b$ degrés de liberté. On peut aussi relier cette loi à la loi Gamma avec $(k,\lambda) = (m/2,1/2)$.

Loi de Rayleigh : C'est la loi de la norme, i.e. $R = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}$ où $x_1$ et $x_2$ sont des v.a. normales centrées. C'est aussi la loi de la dérivée de la loi normale. La loi de Rayleigh apparaît souvent pour décrire le bruit en sortie de certains récepteurs de transmissions.

Loi de Student : Si $X$ : $\aleph[0,\sigma^2]$, et si $Y$ (indépendante de $X$) est telle que $Y^2/\sigma^2$ suit une loi du $\chi ^2$ à $n$ degrés de liberté, alors la variable $T = \frac{X \sqrt{n}}{Y}$ suit une loi de Student à $n$ degrés de liberté. Cette loi sert essentiellement pour les tests statistiques d'hypothèses.