Quelques relations

En statistique, on est souvent amené à construire les variables aléatoires suivantes :

$$\begin{array}{l} \bar X = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{i=n} X_i\\... ... - \bar X)^2\\ T = \sqrt{n} \frac{\bar X - \mu}{S} \end{array}$$

Dans le cas, fréquent, où l'on admet ou vérifie, que les $X_i$ sont des lois normales de même paramètrage $(\mu,\sigma)$, alors

$\bar X$ suit une loi normale $\aleph(\mu,\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$.

$S^2$ suit une loi du $\chi ^2$ à $n-1$ degrés de liberté.

$T$ suit une loi de Student $n-1$ degrés de liberté.

Par ailleurs, on sait que seules les affinités (et en particulier les sommes) conservent les lois normale, binomiale, uniforme et Gamma (à paramètres entiers).

$\begin{array}{l}X_i~: {\cal B}(n_i,p)\\ (X_i) \mbox{~indépendantes}\\ Y = \sum_{i=1}^k X_i\end{array}$	$Y~: {\cal B}(\sum_{i=1}^k n_i,p)$
$\begin{array}{l}X_i~: {\cal P}(\lambda_i)\\ (X_i) \mbox{~indépendantes}\\ Y = \sum_{i=1}^k X_i\end{array}$	$Y~: {\cal P}(\sum_{i=1}^k \lambda_i)$
$\begin{array}{l}X_i~: {\cal N}(\mu_i,\sigma_i^2)\\ (X_i) \mbox{~indépendantes}\\ Y = \sum_{i=1}^k a_i X_i\end{array}$	$Y~: {\cal N}(\sum_{i=1}^k a_i \mu_i, \sum_{i=1}^k a_i^2 \sigma_i^2)$
$\begin{array}{l}X_i~: {\cal E}(\lambda)\\ (X_i) \mbox{~indépendantes}\\ Y = \sum_{i=1}^k a_i X_i\end{array}$	$Y~: G(k, \lambda)$
$\begin{array}{l}X_i~: G(a,p_i)\\ (X_i) \mbox{~indépendantes}\\ Y = \sum_{i=1}^k X_i\end{array}$	$Y~: G(a,\sum_{i=1}^k p_i)$
$\begin{array}{l}X_i~: \chi^2(\gamma_i)\\ (X_i) \mbox{~indépendantes}\\ Y = \sum_{i=1}^k X_i\end{array}$	$Y~: \chi^2(\sum_{i=1}^k \gamma_i)$