Théorème central limite

Le théorème central limite est l'un des résultats les plus importants de la théorie des probabilités. De façon informelle, ce théorème donne une estimation très précise de l'erreur que l'on commet en approchant l'espérance mathématique par la moyenne arithmétique. Ce phénomène a d'abord été observé par Gauss qui l'appelait loi des erreurs; mais ce dernier n'en a pas donné de démonstration rigoureuse. La preuve du théorème a été apportée part Moivre et Laplace; le théorème porte donc parfois leurs noms.

Ce théorème est fondamental car il justifie toutes les approximations par la loi normale.

Théorème :

Soit $X_n$ une suite de v.a. de même loi d'espérance $\mu$ et d'écart type $\sigma$. Alors la v.a. $\frac{1}{\sqrt{n}} (\frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n - n\mu}{\sigma})$ converge en loi vers une v.a. normale centrée réduite $\aleph(0,1)$.

Exemples : La moyenne expérimentale ou arithmétique ( $\frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{n}$) converge donc vers une loi normale de moyenne $\mu$, la moyenne théorique, et d'écart-type $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

Une proportion $F_n$ tend vers une loi normale de moyenne la proportion théorique $p$ et d'écart-type $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$.

Comme cas particulier de ce théorème, on retrouve également la convergence d'une suite de loi binomiale vers la loi normale (théorème de Bernoulli). Ce théorème justifie l'utilisation de la loi normale lorsqu'il y a répétition d'expériences identiques. Par contre, ce théorème reste strict sur les conditions d'applications. On considère souvent que ce théorème reste valable même si les distributions individuelles sont différentes, pour autant que la variance de chacun des termes individuels soit négligeable vis-à-vis de la variance de la somme. C'est en fait un théorème plus général du à Lindeberg.

Théorème :

Soient $X_1, X_2, \ldots, X_n$ des v.a. indépendantes, pas forcément de même loi, centrées et de variance $\sigma_i^2$. Soient $S_n = \sum_{i=1}^{i=n} X_i$, $s^2_n = \sum_{i=1}^{i=n} \sigma_i^2$ et $F_i(x)$ la fonction de répartition de la v.a. $X_i$. Si la condition suivante est réalisée

$$\forall \epsilon > 0 \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \frac... ...\int_{\vert X_i\vert > \epsilon s_n} X_i^2 dF_i(x) \right) = 0$$

alors

$$\frac{S_n}{s_n} \stackrel{\cal L}{\rightarrow} \aleph(0,1)$$

La condition de Lindeberg exprime que les v.a. $\frac{X_i - \mu_i}{S_i}$ sont ``uniformément petites'' avec une grande probabilité. Le résultat veut dire qu'à force d'ajouter de telles variables, on finit par obtenir une loi normale. Autrement dit, si une variable est la résultante d'un grand nombre de causes, petites, à effet additif, cette variable suit une loi normale. C'est à cause de cette interprétation que la loi normale est très souvent employée comme modèle (malheureusement pas toujours à raison).

Enfin, notons que ces théorèmes supposent l'existence des moments des v.a. On ne peut donc pas les utiliser par exemple pour des v.a. suivant une loi de Cauchy (dans ce cas particulier, la somme produit une v.a. qui a toujours une loi de Cauchy et cela quel que soit le nombre d'éléments dans la somme).