Robustesse

Le terme ``robuste'' a été pour la première fois introduit en statistique par G.E.P. Box en 1953. Un estimateur est dit robuste si il est insensible à des petits écarts sur les hypothèses pour lesquelles il a été optimisé. Il y a deux sens au terme ``petit'': de petites variations sur toutes les données, ou des écarts importants sur un petit nombre de données. C'est le deuxième aspect qui est le plus mal pris en compte par les estimateurs classiques.

Ainsi, la robustesse traduit le plus souvent la résistance de l'estimation aux données abérentes. On la définit mathématiquement par le plus petit nombre de données extrèmes qui modifie la valeur de l'estimation ramené à la taille de l'échantillon.

Considérons un échantillon constitué de $n$ valeurs identiques $a$, auquel on ajoutera une perturbation sous la forme de valeurs extrèmes $b \gg a$. Pour estimer l'espérance mathématique, on peut utiliser la moyenne arithmétique qui donne bien sûr $a$ sur l'échantillon. Cependant, cette estimation est modifiée dès l'introduction d'une nouvelle valeur, $b$, sa robustesse est donc de $\frac{1}{n}$. Par contre, la médiane de cet échantillon n'est pas modifiée si l'on ajoute une valeur extrème. En fait, la médiane ne sera modifiée que si le nombre de valeurs extrèmes est supérieur au nombre de valeurs initiales. On en déduit que la robustesse de l'estimateur médiane est égale à $\frac{\frac{n}{2}-1}{n}$ dont la valeur asymptotique est $\frac{1}{2}$.