Estimation d'une moyenne

Deux cas sont à envisager:

$\bullet$ La variable aléatoire mesurée est normale et le nombre de réalisations est quelconque.

$\bullet$ La variable aléatoire mesurée n'est pas normale et le nombre de réalisations est supérieur à 30 (dans ce cas, la distribution de la moyenne tend vers une loi normale d'après le théorème central limite).

Soit donc une v.a. $X$ suivant une loi normale de moyenne $\mu$ inconnue et d'écart-type $\sigma$. On dispose d'un échantillon de $n$ réalisations $x_i$ de cette v.a. Comme précédemment, l'intervalle de confiance sur la moyenne est:

$$P[a < \mu < b ] = P\left[~m - t \frac{\sigma}{\sqrt{n}} < \mu < m + t \frac{\sigma}{\sqrt{n}}~\right]~= \alpha$$

où $m$ est la moyenne arithmétique calculée à partir de l'échantillon. Pour aller plus loin, nous devons considérer deux cas

1- La variance $\sigma^2$ est connue.

La valeur $\sigma$ joue le rôle d'une constante dans la formule de l'intervalle de confiance et la nouvelle v.a. $Y = \frac{(m-\mu)\sqrt{n}}{\sigma}$ suit toujours une loi normale. La valeur de $t$ est donc lue dans une table de la loi normale.

2- La variance $\sigma^2$ est inconnue.

Dans ce cas, $\sigma$ joue le rôle d'une v.a. Soit $s^2$ l'estimation de $\sigma^2$ que l'on obtient par:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - m)^2$$

Comme $X$ suit une loi normale, on sait que la quantité $n \frac{S^2}{\sigma^2}$ suit une loi du $\chi ^2$ à $n-1$ degrés de liberté. La nouvelle variable aléatoire $Y = \frac{(M-\mu)\sqrt{n}}{S}$ suit donc une loi de Student à $n-1$ degrés de liberté. L'intervalle de confiance est alors:

$$P[a < \mu < b ] = P\left[~m - t \frac{s}{\sqrt{n}} < \mu < m + t \frac{s}{\sqrt{n}}~\right]~= \alpha$$

où $t$ est lue dans une table de Student pour $n-1$ degrés de liberté.

A posteriori, on peut être intéressé par la taille minimale de l'échantillon tel que l'intervalle de confiance, pour un coefficient de confiance $\alpha$ donné, soit tel que ses bornes inférieures et supérieures ne s'écartent pas de plus de $k\%$ de la valeur moyenne. On impose donc $t \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le k\mu$, ce qui conduit à

$$n \ge \frac{t^2}{k^2} \left(\frac{\sigma}{\mu}\right)^2$$

On approche $\mu$ par $m$ et $\sigma$ par $s$ si l'écart-type est inconnu.