Estimation d'une variance

Nous n'aborderons que le cas de l'estimation de la variance $\sigma^2$ d'une v.a. $X$ normale de moyenne $\mu$ à partir d'un échantillon de $n$ valeurs.

Si $\mu$ est connue (très rare), alors l'intervalle de confiance à $\alpha\%$ (risque) est définit par

$$\left[\frac{n\nu}{\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n)} ; \frac{n\nu}{\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n)} \right]$$

avec $\nu = \frac{1}{n} \sum \left( x_i - \mu \right)^2$ et où $\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n)$ et $\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n)$ sont les quantiles d'ordre $1-\frac{\alpha}{2}$ et $\frac{\alpha}{2}$ de la loi du $\chi ^2$ à $n$ degrés de liberté.

Si $\mu$ est inconnue. La quantité $n \frac{S^2}{\sigma^2}$ définie dans le paragraphe précédent suit une loi du $\chi ^2$ à $n-1$ degrés de liberté. L'intervalle de confiance à $\alpha\%$ (risque) est définit par

$$\left[\frac{ns^2}{\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)} ; \frac{ns^2}{\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)} \right]$$

où $\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)$ et $\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)$ sont les quantiles d'ordre $1-\frac{\alpha}{2}$ et $\frac{\alpha}{2}$ de la loi du $\chi ^2$ à $n-1$ degrés de liberté.

On obtient le résultat suivant :

$$P\left[ \chi^2 < k \right] = P \left[ \frac{n S^2}{\sigma^2} < k \right] = \alpha$$

(attention, $\alpha$ représente ici la confiance) avec $k$ lu sur une table du $\chi ^2$ pour $n-1$ degrés de liberté, d'où l'on tire :

$$P\left[ \sigma^2 > \frac{n S^2}{k} \right] = \alpha$$

avec $S^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - m)^2$.