Formalisation

Soit une fonction $f$ de $\Re^p \rightarrow \Re$ telle que $f(\vec x) = f(x_1, \ldots, x_p) = y$.

On souhaite modéliser $f$ par une approximation linéaire $\hat f$ caractérisée par un vecteur de paramètres $a$ ($a \in \Re^p$) telle que $\hat f(\vec x,a) = \sum_{i=1}^p a_i x_i$.

L'objectif sera d'estimer le vecteur $a$ à partir d'un jeu de données $\{(\vec x_j,y_j), j = 1 \ldots n\}$. Pour cela, on peut donc reprendre la formalisation du chapitre précédent. $a$ sera obtenu par minimisation de la fonction de coût $C(a)$:

$$C(a) = \sum_{j=1}^{n} \rho\left(\hat f(\vec x_j,a) - y_j\right) = \sum_{j=1}^n \rho(e_j)$$

(On supposera par simplicité que toutes les données ont la même incertitude, ce qui permet de ne pas faire intervenir les termes $\sigma_j$.)