Estimation d'un mode

Nous avons vu dans un des chapitres introductifs que la notion de mode n'était définie que pour les variables aléatoires discrètes. Il existe cependant une généralisation au v.a. continue.

Rappel: $x_{mode}$ est le mode de la v.a. discrète $X$ ssi $P(X = x_{mode}) = Max_x P(X = x)$.

Définition: Soit $X$ une v.a. continue. On appele mode de $X$ la valeur $x_{mode}$ qui satisfait à

$$x_{mode} = \frac{x_{sup} - x_{inf}}{2}$$

avec

$$\int_{x_{inf}}^{x_{sup}} f(x) dx = Max_i \int_{x_i}^{x_{i+T}} f(x) dx$$

et $T = sup - inf$.

Ce qui veut dire que $x_{mode}$ est le milieu de l'intervalle $[x_{inf},x_{sup}]$ le plus dense dans la distribution des valeurs de $X$.

Comment peut-on estimer cette valeur à partir d'un échantillon? On choisit dans un premier temps la valeur de $T$ (le plus souvent, on fixe $T = \frac{n}{2}$). On recherche ensuite l'intervalle le plus dense, i.e. $Min_i (x_{i+T} - x_i)$, la liste des réalisations $x_i$ étant préalablement triée par valeurs croissantes. L'estimation finale du mode est obtenue conformément à la définition, par le mileu de l'intervalle retenu.

Les principaux inconvénients de cette estimation sont la compléxité $O(n log n)$ et surtout la très forte dépendance entre l'estimation et la valeur choisie a priori pour $T$. Afin de tester cette sensibilité, on peut bien sûr faire varier légèrement $T$ (au prix d'une complexité accrue) et tester la variance de l'estimateur.