Hypothèses et erreurs

Une utilisation courante des statistiques est la notion de test. Un test est un mécanisme qui permet de trancher entre deux hypothèses au vu des résultats d'un échantillon. Dans les cas qui nous intéressent, ces hypothèses porteront sur des estimations (valeur d'un moment, égalité de variances, nature d'une loi de probabilité ...). Soient $H_0$ et $H_1$ ces deux hypothèses, dont une et une seule est vraie. La décision aboutira à choisir $H_0$ ou $H_1$. Il y a donc 4 cas possibles dont les probabilités sont résumées dans le tableau suivant:

	$H_0$ vraie	$H_1$ vraie
$H_0$ décidée	$1 - \alpha$	$\beta$
$H_1$ décidée	$\alpha$	$1 - \beta$

$\alpha$ et $\beta$ sont les erreurs de première et deuxième espèce:

$\bullet$ $\alpha$ est la probabilité de décider $H_1$ alors que $H_0$ est vraie.

$\bullet$ $\beta$ est la probabilité de décider $H_0$ alors que $H_1$ est vraie.

Ces deux erreurs sont antogonistes, plus $\alpha$ sera grand (resp. petit), plus $\beta$ sera petit (resp. grand). Le fait d'imposer un $\alpha$ faible conduit à une règle de décision plus stricte qui aboutit le plus souvent à n'abandonner l'hypothèse $H_0$ que dans des cas rarissimes et donc à conserver cette hypothèse quelque fois à tort. Le compromis entre les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ est donc souhaitable bien que difficile à réaliser.

On appelle puissance d'un test la quantité $1 - \beta$.

Dans la pratique des tests statistiques, il est de règle de se fixer $\alpha$ comme donné (les valeurs les plus courantes sont 0.05, 0.01 ou 0.1) de préférence en fonction du risque de première espèce. En effet, $H_0$ joue le plus souvent un rôle prédominant par rapport à l'hypothèse $H_1$. Cela est la conséquence du fait que $H_0$ joue le rôle d'hypothèse de référence alors que $H_1$ est souvent limitée à l'hypothèse contraire. Par exemple, on peut avoir $H_0$ : $m = m_0$ ce qui est relativement facile à tester et dans ce cas, $H_1$ est tout simplement $m \neq m_0$.

Cette pratique est liée au fait que l'évaluation d'un test passe par l'évaluation de fonctions complexes qui ont été tabulées pour de nombreuses valeurs de $\alpha$ mais ne sont pas connues $\forall~\alpha$. On est donc amené à choisir a priori $\alpha$. Cependant, l'apparition de plus en plus fréquente de processus numériques d'approximation rapides et précis permet une autre approche consistant à rechercher la plus petite valeur de $\alpha$ pour laquelle l'hypothèse $H_0$ reste vraie.