Estimation des paramètres

Les déplacements sont calculés par minimisation de la DFD (voir section 2.2.3). Contrairement aux approches de codage, une déformation arrière (équation (2)) est effectuée. En effet, dans la déformation avant (équation (1)), le domaine $\mathcal{R}_2$ sur lequel on somme les DFD dépend des paramètres de déplacement. Ceci n'intervient pas lorsque les nœuds du maillage sont forcés à rester sur les bords de l'image, mais a une influence sur le résultat dans notre cas, où le maillage est une sous partie de l'image. En effet, le nombre de pixel considérés varie, ce qui peut conduire au problème suivant: dans des régions présentant un faible contraste, la minimisation de la DFD consiste en fait à minimiser le nombre de pixels sur lequel s'effectue la sommation, ce qui correspond au resserrement du maillage sur lui-même. Dans le cas d'une déformation arrière, la sommation fait toujours intervenir le même nombre de pixels, ce qui élimine le risque d'une telle dégénérescence.

Comme souligné au paragraphe 2.2.3, l'approche par minimisation de DFD se base sur une hypothèse classique d'invariance des niveaux de gris. La minimisation de ce critère utilise une méthode de descente de gradient au 1 $^\textrm{\small er}$ ordre. Comme toute méthode de descente de gradient, il existe un risque de converger vers un minimum local, spécialement lorsque l'initialisation est éloignée du résultat. Pour remédier à cela, nous utilisons un processus de multirésolution. Les images de référence sont réduites par filtrage gaussien et sous-échantillonnage d'un pixel sur deux en largeur et en hauteur. On obtient ainsi une pyramide d'images correspondant à des réductions de l'image originale de facteurs 1, 2, 4, etc...dans chaque dimension. Sur l'image la plus réduite, la minimisation conduit à une estimation grossière des déplacements. Ceux-ci sont mis à l'échelle de l'image d'échelle supérieure, pour affiner les résultats, et le processus est répété jusqu'à arriver à l'image originale.

L'utilisation de la DFD seule n'assurant pas la stabilité des résultats, nous avons aussi introduit une contrainte de rigidité pénalisant les variations de la longueur des arêtes du maillage:

$$E_{\textrm{rigidit{\'e}}} = K \sum_{e\in\mathcal{A}}(r_e-r'_e)\mathtwosuperior$$ (3)

où

$\mathcal{A}$ représente l'ensemble des arêtes du maillage,

$r_e$ (resp. $r'_e$) est la longueur de l'arête $e$ dans la première (resp. deuxième) image.

$K$ est une constante réglant la rigidité du maillage

Cette énergie supplémentaire s'ajoute à la DFD, et est prise en compte lors de la minimisation de l'énergie globale.